Matemáticas para TODOS

Productos Notables (Álgebra)

2010-06-14T20:10:00.004-05:00

La frase Producto Notable, en Matemáticas, se refiere al resultado de una multiplicación (producto) que se hace con mucha frecuencia (notable).

En Álgebra tenemos varios productos notables, como por ejemplo la multiplicación un binomio cualquiera por sí mismo, o lo que es lo mismo, el elevar al cuadrado un binomio cualquiera; lo que da como producto el Trinomio Cuadrado Perfecto. Algunos productos notables son la multiplicación de dos binomios conjugados, que da como producto una diferencia de cuadrados; la multiplicación de dos binomios que tienen un término en común, que da como producto un trinomio cuadrado imperfecto; entre otros.

Para ver una explicación animada y ejercicios de estos temas, descarga el siguiente archivo que contiene los siguientes tres temas:
Binomio al Cuadrado y Trinomio Cuadrado Perfecto.
Binomios conjugados y Diferencia de Cuadrados.
Binomios con un término en común y Trinomio Cuadrado Imperfecto.
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Tarea 15 Mecánica de Sólidos

2008-05-10T02:57:00.010-05:00

Tarea del tema de vigas compuestas de 2 materiales diferentes sometidas a flexión pura:

Ejercicio 4.35

Dos barras de latón y dos de aluminio están soldadas para formar el elemento compuesto, tal como se muestra en la figura. Usando los datos dados halle el máximo momento admisible cuando se flexiona el elemento con respecto al eje horizontal.

Módulo de Elasticidad del Aluminio: 70 GPa

Módulo de Elasticidad delLatón: 105 GPa

Esfuerzo admisible del Aluminio: 100 MPa

Esfuerzo admisible del Latón: 160 MPa

Ejercicios 4.36 & 4.37

Módulo de Elasticidad del Aluminio: 70 GPa

Módulo de Elasticidad del Latón: 105 GPa

Esfuerzo admisible del Aluminio: 100 MPa

Esfuerzo admisible del Latón: 160 MPa

Para el elemento compuesto anterior halle el máximo momento admisible cuando se flexiona con respecto a un eje vertical.

Ejercicios 4.38 & 4.39

Se ha reforzado la viga de madera de 6 x 10 pulgadas poniéndole dos platinas de acero, tal como se muestra en la siguiente figura. Usando los datos dados abajo, halle el máximo momento flector admisible cuando se flexiona con respecto al eje horizontal.

Módulo de Elasticidad de la Madera: 1,9 x 10⁶ psi

Módulo de Elasticidad del Acero: 29 x 10⁶ psi

Esfuerzo admisible de la Madera: 1800 psi

Esfuerzo admisible del Acero: 24 ksi

Para el elemento compuesto anterior, halle el máximo momento flector cuando se flexiona el elemento con respecto a un eje vertical.

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Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor

2008-04-28T00:07:00.003-05:00

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Lenguaje Algebraico (Álgebra)

2008-04-27T23:38:00.003-05:00

El lenguaje algebraico es simplemente traducir lo que normalmente hablamos a expresiones particulares con símbolos y números. Cuando hablamos de una situación en la que necesitamos encontrar una respuesta, por todos lados escuchamos frases como esta: “lo más adecuado es escribirlo en forma de ecuación”.

La idea de esto es manipular cantidades desconocidas con símbolos fáciles de escribir. Un ejemplo muy simple es el siguiente enunciado:

Lo que gasté en dulces en la tienda fue el precio de cada dulce por el número de dulces que compré.

Escrito en Lenguaje Algebraico puede quedar de la siguiente manera:

G = P·N

Aquí G significa “lo que gasté”, P significa el "precio por dulce" y N significa "la cantidad de dulces".

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Con Orgullo... Somos premiados. Muchas gracias.

2008-04-27T12:36:00.009-05:00

Hemos Recibido de parte del Profesor Luis Parada un reconocimiento por la labor de este blog.

De parte mía y de todos mis lectores muchas gracias, estos reconocimientos nos sirven de estímulo para que todas aquellas personas que visitan nuestra bitácora tengan una mejor orientación sobre las matemáticas, y que los mensajes que por acá se colocan sirvan de reflexión y motivación en este mágico mundo de las letras y de los números.

Estos premios no son de carácter económico, sin embargo, nos sirven para aumentar la hermandad entre los blogueros y así fortalecer los lazos de amistad entre cada uno de nosotros.

Me dicen, que debo premiar a otros amigos blogueros, he decidido regresar el favor a mi amigo Luis y premiar si Blog:

123xyz_Matemáticas y algo más

Tarea 14 Mecánica de Sólidos

2008-04-26T14:31:00.008-05:00

Tarea del tema de vigas homogéneas sometidas a flexión pura:

Ejercicios 4.4 & 4.5

La viga de acero mostrada está hecha de un acero con s_Y = 250 MPa y s_U = 400 MPa. Usando un factor de seguridad de 2,50, a) determine el máximo par que puede aplicarse a la viga cuando se flexiona con respecto al eje z.

b) Ahora suponga que la viga se flexiona con respecto al eje y; determine el máximo par que puede aplicarse a la viga.

Ejercicios 4.6 & 4.7

Una viga que tiene la sección mostrada está formada de una aleación de aluminio, s_Y = 45 ksi y s_U = 70 ksi. Usando un factor de seguridad de 3,00, a) halle el máximo par que puede aplicarse a la viga cuando se flexiona con respecto al eje z.

Ahora suponga que la viga se flexiona con respecto al eje y; b) determine el máximo par que puede aplicarse a la viga.

Ejercicio 4.8

Se aplican dos fuerzas verticales a la viga con sección transversal mostrada. Halle los esfuerzos máximos de tensión y compresión en la porción BC de la viga.

Ejercicio 4.9

Se aplican dos fuerzas verticales a la viga con sección transversal mostrada. Halle los esfuerzos máximos de tensión y compresión en la porción BC de la viga.

Ejercicio 4.10

Se aplican dos fuerzas verticales a la viga con sección transversal mostrada. Halle los esfuerzos máximos de tensión y compresión en la porción BC de la viga.

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Tarea 13 Mecánica de Sólidos

2008-04-11T00:14:00.007-05:00

Tarea del tema ángulo de torsión de ejes de sección no circular:

Ejercicios 3.112, 3.113, 3.114 & 3.115

Cada una de las tres barras de acero, mostradas en la siguiente figura, está sometida a un torque de magnitud T = 275 N·m. Sabiendo que el esfuerzo cortante admisible es de 50 MPa, halle: a) la dimensión b requerida en cada barra.

Cada una de las tres barras, mostradas a continuación, está sometida a un torque de 5 kips·pulg. Si el cortante admisible es de 8 ksi, halle: b) la dimensión b requerida de cada barra.

Cada una de las tres barras de Aluminio, que se muestran en la siguiente figura, debe ser sometida a torsión en un ángulo de 1,25º. Sabiendo que b = 1,5 pulg, t_adm = 7,5 ksi y G = 3,7´10⁶ psi, halle: c) la longitud mínima admisible de cada barra.

Cada una de las tres barras de Aluminio, que a continuación se muestran, debe ser sometida a torsión en un ángulo de 2º. Sabiendo que b = 30 mm, t_adm = 50 MPa y G = 26 GPa, halle: d) la longitud mínima admisible de cada barra.

Ejercicios 3.116, 3.117, 3.118 & 3.119

Los ejes A y B son del mismo material y tienen la misma área transversal, pero A es de sección circular y B de sección cuadrada. Determine la relación de los esfuerzos cortantes máximos que ocurren en A y B, respectivamente, cuando los dos ejes están sometidos al mismo torque (T_A = T_B). Suponga que ambas deformaciones son elásticas.

Los ejes A y B son del mismo material y tienen igual longitud e igual área transversal, pero A es de sección circular y B de sección cuadrada. Determine la relación de los torques máximos T_A y T_B que pueden aplicarse sin peligro a A y B, respectivamente.

Los ejes A y B son del mismo material y tienen igual longitud e igual área transversal, pero A tiene sección transversal circular y B tiene sección cuadrada. Halle la relación entre los ángulos máximos de torsión f_A y f_B a que pueden someterse los ejes sin peligro.

Los ejes A y B son del mismo material y tienen igual longitud e igual área transversal, pero A es de sección circular y B de sección cuadrada. Determine la relación de los ángulos de torsión f_A y f_B cuando se somete a los dos ejes al mismo torque (T_A = T_B). Suponga que ambas deformaciones son elásticas.

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Tarea 12 de Mecánica de Sólidos

2008-04-09T21:26:00.008-05:00

Tarea del tema de Ejes de Transmisión de Potencia:

Ejercicios 3.62 & 3.63

Cuando un eje hueco gira a 180 rpm, un estroboscopio indica que el ángulo de torsión es 3º. Sabiendo que G = 77 GPa, determine: a) la potencia transmitida, b) el máximo esfuerzo cortante en el eje. Las dimensiones del eje se muestran en la siguiente figura.

El eje hueco, mostrado en la figura anterior (G = 77 GPa, t_adm = 50 MPa) gira a 240 rpm. Determine: c) la potencia máxima que puede transmitirse, d) el correspondiente ángulo de torsión del eje.

Ejercicio 3.64

Un eje motor hueco de acero (G = 11,2x10⁶ psi) tiene 8 pie de longitud y sus diámetros exterior e interior son 2,50 y 2,25 pulg, respectivamente. Sabiendo que el eje transmite 200 hp a 1500 rpm, determine: a) el máximo esfuerzo cortante, b) el ángulo de torsión del eje.

Ejercicio 3.65

Sabiendo que G = 11,2x10⁶ psi y t_adm = 6000 psi para el acero que se va a utilizar, determine: a) el menor diámetro admisible de un eje sólido que debe transmitir 18 hp a 2400 rpm, b) el correspondiente ángulo de torsión en una longitud de 6 pie en el eje.

Ejercicios 3.66 & 3.67

Dos ejes sólidos y dos engranajes (mostrados en la siguiente figura) se utilizan para transmitir 12 kW del motor en A, que gira a 20 Hz, a una máquina herramienta en D. Sabiendo que cada eje tiene 25 mm de diámetro, halle el esfuerzo cortante máximo: a) en el eje AB, b) en el eje CD.

Los dos ejes sólidos y los engranajes mostrados en la figura anterior se usan para transmitir 12 kW del motor en A, que gira a 20 Hz, a una máquina herramienta en D. Sabiendo que el esfuerzo cortante admisible máximo es 60 MPa para cada eje, halle el diámetro: c) del eje AB, d) del eje CD.

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Tarea 11 de Mecánica de Sólidos

2008-04-02T22:38:00.009-06:00

Tarea del tema de Torsión de Ejes Estáticamente Indeterminados:

Ejercicios 3.45 & 3.46

Dos ejes sólidos de acero (G = 11,2x10⁶ psi) están conectados a un disco de acople B y a soportes fijos en A y C. Para la carga mostrada en la siguiente figura, determine: a) la reacción en cada soporte, b) el máximo esfuerzo cortante en AB, c) el máximo esfuerzo cortante en BC.

Ahora suponga que el eje AB se reemplaza por uno hueco del mismo diámetro exterior y 1 pulg de diámetro interior, determine: d) la reacción en cada soporte, e) el máximo esfuerzo cortante en AB, f) el máximo esfuerzo cortante en BC.

Ejercicios 3.47 & 3.48

Los cilindros AB y BC están unidos en B, y en A y C a soportes fijos. Sabiendo que AB es de Aluminio (G = 26 GPa) y BC de Latón (G = 39 GPa), halle para la carga mostrada en la siguiente figura: a) La reacción en cada soporte, b) el máximo esfuerzo cortante en AB, c) el máximo esfuerzo cortante en BC.

Ahora suponga que AB es de acero (G = 77 GPa) en lugar de Aluminio, halle para la carga mostrada en la siguiente figura: d) La reacción en cada soporte, e) el máximo esfuerzo cortante en AB, f) el máximo esfuerzo cortante en BC.

Ejercicios 3.49 & 3.50

El eje sólido AB y la camisa CD están ambos unidos al cilindro corto E. El eje de acero AB tiene un G_s = 11,2x10⁶ psi y (t_adm)_s = 12 ksi, mientras la camisa de latón CD tiene un G_b = 5,6x10⁶ psi y (t_adm)_b = 7 ksi. Halle el máximo torque que puede aplicarse al cilindro E mostrado en la siguiente figura.

Si se aplica un torque T de 20 kips·pulg al cilindro E de la figura mostrada a continuación, Determine: a) el esfuerzo cortante máximo en el eje AB, b) el cortante máximo en la camisa CD.

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Tarea 9 & 10 Mecánica de Sólidos

2008-03-29T16:38:00.012-06:00

Tarea del tema de Torsión:

Ejercicios 3.1 & 3.24

a) Halle el máximo esfuerzo cortante causado por un torque de 40 kips·pulg en el eje sólido de Aluminio de 3 pulg de diámetro, que se muestra a continuación. b) Resuelva el inciso “a” suponiendo que el eje se ha reemplazado por uno hueco con el mismo diámetro exterior y 1 pulg de diámetro interior.

c) Determine el ángulo de torsión causado por un torque T de 40 kips·pulg en el eje de Aluminio de 3 pulg de diámetro, que se muestra en la siguiente figura (G = 3,7x10⁶ psi). d) Resuelva el inciso anterior suponiendo que se ha reemplazado el eje sólido por un eje hueco con el mismo diámetro exterior y 1 pulg de diámetro interior.

Ejercicios 3.2 & 3.23

a) Halle el torque T que causa un cortante máximo de 45 MPa en el eje cilíndrico hueco mostrado a continuación. b) halle el mismo esfuerzo cortante causado por el mismo torque en un eje sólido con la misma área transversal.

c) Halle el torque T que da origen a un ángulo de torsión de 3º en el cilindro hueco de acero mostrado en la siguiente figura (G = 77 GPa). d) Determine el ángulo de torsión producido por el mismo torque T en un eje cilíndrico sólido del mismo material y con la misma sección transversal.

Ejercicios 3.3

Se aplica un torque de 1,75 kN·m al cilindro sólido de la figura mostrada a continuación. Halle: a) el cortante máximo, b) el porcentaje del torque tomado por el núcleo de 25 mm de diámetro.

Ejercicios 3.4

a) Halle el torque que debe aplicarse al eje sólido de 3 pulg de diámetro sin exceder un cortante admisible de 12 ksi. b) Resuelva el inciso “a” suponiendo que al eje sólido lo reemplaza un eje hueco de igual área y cuyo diámetro interior equivale a la mitad del exterior.

Ejercicios 3.5 & 3.27

Los torques mostrados en la siguiente figura, se ejercen sobre las poleas A, B y C. Si ambos ejes son sólidos, halle el máximo esfuerzo cortante: a) en el eje AB, b) en el eje BC.

Los torques que se ilustran en la siguiente figura se ejercen sobre las poleas A, B y C. Sabiendo que ambos ejes son sólidos y hechos de Latón (G = 39 GPa), halle en ángulo de torsión entre: c) A y B, d) A y C.

Ejercicios 3.6 & 3.7

En condiciones normales de aplicación, el motor eléctrico, que se muestra a continuación, ejerce un torque de 12 kips·pulg sobre E. Sabiendo que cada eje es sólido, halle el máximo esfuerzo cortante: a) en el eje BC, b) en el eje CD, c) en el eje DE.

Ahora suponga que se ha perforado un hueco de 1 pulg de diámetro en cada eje, halle el máximo esfuerzo cortante: d) en el eje BC, e) en el eje CD, f) en el eje DE.

Ejercicios 3.8

Los torques mostrados en la siguiente figura, se ejercen sobre las poleas A, B, C y D. Sabiendo que los ejes son sólidos, halle: a) el eje en el cual ocurre el máximo esfuerzo cortante, b) la magnitud de dicho esfuerzo.

Ejercicios 3.25

Halle el máximo diámetro admisible de una barra de acero de 10 pie de longitud (G = 11,2x10⁶ psi), si la barra ha de ser sometida a un ángulo de torsión de 90º sin que exceda un esfuerzo cortante de 15 ksi.

Ejercicios 3.26

Mientras un pozo de petróleo está siendo perforado a 2 500 m de profundidad se observa que el tope de la tubería perforadora que se utiliza, de 200 mm de diámetro, de acero (G = 77 GPa), rota 2,5 revoluciones antes que la punta perforadora empiece a operar. Halle el esfuerzo cortante máximo que causa la torsión en la tubería.

Ejercicios 3.28 & 3.29

El motor eléctrico, mostrado en la figura siguiente, ejerce un torque de 6 kips·pulg sobre el eje de Aluminio ABCD cuando rota a velocidad constante. Sabiendo que G = 3,7x10⁶ psi y que los torques ejercidos sobre las poleas B y C son los indicados en la figura, halle el ángulo de torsión entre: a) B y C, b) B y D.

Ahora suponga que se ha perforado un hueco de 1 pulg de diámetro en todo el eje, halle el ángulo de torsión entre: c) B y C, d) B y D.

Ejercicios 3.30

Los torques mostrados en la siguiente figura, se ejercen en las poleas A, B, C y D. Si cada eje es sólido, de 120 mm de longitud y hecho de acero (G = 77 GPa), halle el ángulo de torsión entre: a) A y C, b) A y E.

Ejercicios 3.31 & 3.32

El eje sólido AB tiene un diámetro d_s = 1,5 pulg y está hecho de acero con G = 11,2x10⁶ psi, y t_adm = 12 ksi, en tanto que la camisa CD es de Latón con G = 5,6x10⁶ psi, y t_adm = 7 ksi. Halle a) el ángulo máximo que puede girarse el extremo A.

El eje sólido AB tiene un diámetro d_s = 1,75 pulg y está hecho de acero con G = 11,2x10⁶ psi, y t_adm = 12 ksi, en tanto que la camisa CD es de Latón con G = 5,6x10⁶ psi, y t_adm = 7 ksi. Halle: b) el máximo torque T que puede aplicarse en A si no deben excederse los esfuerzos admisibles dados y si el ángulo de torsión de la camisa CD no debe pasar de 0,375º. c) el ángulo de rotación correspondiente del extremo A.

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Tarea 8 Mecánica de Sólidos

2008-03-15T09:37:00.006-06:00

Tarea del tema de Deformaciones cortantes:

Ejercicios 2.82 & 2.83

Una unidad de aislamiento vibratorio consta de 2 bloques de caucho endurecido adheridos a una placa AB y a soportes rígidos como se muestra en la siguiente figura. Sabiendo que una fuerza P = 6 kips causa una deflexión d = 1/16 pulg de la placa AB, halle el módulo de rigidez del caucho usado.

Una unidad de aislamiento vibratorio consta de 2 bloques de caucho endurecido con un módulo de rigidez G = 2.75 ksi adheridos a una placa AB y a soportes rígidos, como se muestra en la figura anterior. Llamando P a la magnitud de la fuerza aplicada en la placa y d a la deflexión correspondiente, halle la constante de resorte efectiva P/d del sistema.

Ejercicios 2.84 & 2.85

El bloque plástico mostrado en la siguiente figura está pegado al soporte rígido y a una placa vertical, a la cual se aplica una fuerza P de 240 kN. Sabiendo que para el plástico utilizado G = 1050 MPa, halle a) la deflexión de la placa; b) La carga P que debe aplicarse para producir una deflexión de 1.5 mm.

Ejercicios 2.86 & 2.87

Dos bloques de caucho con G = 1.75 ksi están adheridos a soportes rígidos y a una placa AB, como se muestra en la siguiente figura. Sabiendo que c = 4 pulg y P = 10 kips, halle las dimensiones mínimas admisibles a y b de los bloques si el cortante en el caucho no debe pasar de 200 psi y la deflexión de la placa debe ser al menos 0.1 pulg.

Dos bloques de caucho con G = 1.50 ksi están adheridos a soportes rígidos y a una placa AB, como se muestra en la figura anterior. Sabiendo que b = 8 pulg y c = 5 pulg, determine la máxima carga admisible P y el espesor mínimo admisible a de los bloques si el cortante en el caucho no debe pasar de 210 psi y la deflexión de la placa debe ser de por lo menos de ¼ pulg.

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Tarea 7 Mecánica de Sólidos

2008-03-04T20:06:00.006-06:00

Tarea del tema de Relación de Poisson:

Ejercicios 2.66 & 2.67

En una Prueba de Tensión se somete una barra de Aluminio de 20 mm de diámetro a una fuerza de tensión P = 30 kN. Sabiendo que E = 70 GPa, y n = 0.35, determine a) el alargamiento de la barra en una longitud de 150 mm, b) el cambio en el diámetro de la barra.

En una prueba normalizada de tensión se somete una barra de plástico experimental de 20 mm de diámetro a una fuerza P = 6 kN. Sabiendo que se detecta una alargamiento de 14 mm y una disminución en el diámetro de 0.85 mm en una longitud de medición de 150 mm, determine el módulo de elasticidad, el de rigidez y la relación de Poisson del material.

Ejercicio 2.68

Una línea con pendiente 4:10 fue grabada en una placa de Latón amarillo de 6 pulg de ancho y ¼ pulg de espesor. Usando los datos del Apéndice B, halle la pendiente de la línea cuando la placa esté sometida a una fuerza axial de 45 kips, como se muestra a continuación.

Ejercicio 2.69

Una tubería de acero de 6 pies de longitud, 12 pulg de diámetro exterior y ½ pulg de espesor, se usa como columna corta para soportar una carga axial de 300 kips. Usando los datos del Apéndice B para el acero estructural, halle a) el cambio de longitud de la tubería, b) el cambio de diámetro exterior, c) el cambio de espesor de la tubería.

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Tarea 6 Mecánica de Sólidos

2008-03-01T09:55:00.013-06:00

Tarea del tema de Problemas Estáticamente Indeterminados:

Ejercicio 2.33

Un poste de concreto (mostrado en la figura siguiente) de 4 pies está reforzado con 4 barras de acero de ¾ pulg de diámetro. Si E_s = 29 x 10⁶ psi y E_c = 3.6 x 10⁶ psi, halle los esfuerzos normales en el acero y en el concreto cuando se aplica al poste una carga axial de 150 kips.

Ejercicios 2.34 & 2.35

Una barra de 250 mm con seción de 15 x 30 mm consta de 2 capas de Aluminio de 5 mm, unidas a una central de Latón del mismo espesor. Si se le somete a cargas axiales P = 30 kN y sabiendo que E_Al = 70 GPa y E_L = 105 GPa, halle el esfuerzo normal a) en el Aluminio, b) en el Latón y c) el alargamiento de la barra compuesta si la carga axial P es de 45 kN.

Ejercicio 2.36

Se aplican fuerzas de compresión de 40 kips, axiales, a ambos extremos del conjunto mostrado a continuación, por medio de platinas rígidas terminales. Sabiendo que E_s = 29 x 10⁶ psi y E_a = 10 x 10⁶ psi, halle: a) los esfuerzos normales en el núcleo de Acero y en la cubierta de Aluminio, b) la deformación del conjunto.

Ejercicio 2.37

Una barra de plástico que consta de dos partes cilíndricas AB y BC está restringida en ambos extremos y soporta cargas de 6 kips, como las mostradas en la siguiente figura. Sabiendo que E = 0.45 x 10⁶ psi, halle: a) las reacciones en A y C, b) el esfuerzo normal en cada porción de la barra.

Ejercicios 2.38 & 2.39

Dos barras cilíndricas, una de Acero y la otra de Latón, están unidas en C y tienen soportes rígidos en A y E. Dada la Carga mostrada en la siguiente figura y sabiendo que E_s = 200 GPa y Eb = 105 GPa, halle: a) las reacciones en A y en E, b) la deflexión del punto C.

Ahora suponga que la barra AC es de Latón y la barra CE es de Acero, halle: c) las reacciones en A y en E, d) la deflexión del punto C.

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Tarea 5 Mecánica de Sólidos

2008-02-26T20:17:00.006-06:00

DIAGRAMA ESFUERZO-DEFORMACIÓN INGENIERIL

El Diagrama Esfuerzo-Deformación Ingenieril es una herramienta muy útil para determinar muchas de las características mecánicas de los materiales. Este diagrama se obtiene al someter un material a un Ensayo de Tensión Uniaxial. El material a ensayar debe presentarse en una configuración apropiada a la que se llama Espécimen o probeta de tensión uniaxial. El siguiente es un diagrama típico de Escuerzo-Deformación para un material elástico lineal que presenta un comportamiento plástico después del elástico, relacionado con la ductilidad del material.

Del diagrama Esfuerzo-Deformación Ingenieril se pueden obtener las siguientes propiedades de los materiales: Módulo elástico o de Young (E), Esfuerzo de Cedencia (s_Y), la resistencia a la Tensión o esfuerzo último (s_U), la deformación máxima (e_max), la resiliencia (área bajo la curva de la región elástica), Tenacidad (área bajo la curva del diagrama total), etc.

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Tarea 4 Mecánica de Sólidos

2008-02-25T00:50:00.005-06:00

Tarea del tema de deformaciones normales:

Ejercicio 2.1

Una barra de polietileno de 12 pulg de largo y diámetro de 0.5 pulg es sometida a una tensión de 800 lb. Si E=0.45x10⁶psi, halle: a) el alargamiento de la barra, b) el esfuerzo normal.

Ejercicio 2.2

Un alambre de acero de 60 m no se debe estirar más de 48 mm cuando la tensión en el alambre es de 6 kN. Si E=200 GPa, halle: a) el diámetro mínimo que puede escogerse para el alambre, b) el valor correspondiente del esfuerzo normal

Ejercicio 2.3

Un alambre de acero, E=200 GPa, con una longitud de 80 m y 5 mm de diámetro, tiene un esfuerzo último de tensión de 400 MPa. Si se desea un Factor de Seguridad de 3.2, ¿Cuál es: a) la mayor tensión admisible en el alambre, b) el alargamiento correspondiente del mismo?

Ejercicio 2.4

Un hilo de Nylon es sometido a 2 lb de tensión. Si E=0.5x10⁶ psi y el máximo esfuerzo normal admisible es de 6 ksi, determine: a) el diámetro requerido de hilo, b) el porcentaje de incremento en la longitud del hilo.

Ejercicio 2.5

Una barra de control hecha de Latón debe alargarse 1/8 pulg con una carga de 900 lb. Si E=15x10⁶ psi y el máximo esfuerzo normal admisible es de 60 ksi, halle: a) el menor diámetro que puede tener la barra, b) la longitud correspondiente requerida de la barra.

Ejercicio 2.6

Un alambre de Aluminio de 4 mm de diámetro se alarga 25 mm cuando la tensión es 400 N. Sabiendo que E=70 GPa y la resistencia última de tensión es de 110 MPa, halle: a) la longitud del alambre, b) el Factor de Seguridad.

Ejercicio 2.7

Una barra de Aluminio de 1.5 m de largo no debe alargarse más de 1 mm ni el esfuerzo normal pasar de 40 MPa cuando la barra está sometida a una fuerza axial de 3 kN. Si E=70 GPa, halle el diámetro requerido de la barra.

Ejercicio 2.8

Se debe someter un hilo de Nylon a una tensión de 2.5 lb. Sabiendo que E=0.5x10⁶ psi, que el esfuerzo normal máximo es 6 ksi y que la longitud del hilo no debe aumentar más del 1%, halle el diámetro requerido.

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Tarea 3 Mecánica de Sólidos

2008-02-24T23:43:00.010-06:00

Tarea del tema de Factor de Seguridad:

Ejercicios 1.49 & 1.52

El conector AC es de acero con un esfuerzo normal último de 60 ksi y tiene una sección uniforme de ¼ x ½ pulg. Está conectado a un soporte en A y al elemento BCD en C por medio de pasadores de 3/8 pulg. Mientras que el elemento BCD está conectado a B por un pasador de 5/16 pulg. Todos los pasadores son de acero con un esfuerzo cortante último de 25 ksi y están sometidos a cortante simple. Si se desea un Factor de Seguridad de 3.25, halle a) la máxima carga P que puede aplicarse en D. Note que el conector AC no está reforzado alrededor de los agujeros de los pasadores. La estructura se muestra en la siguiente figura:

b) Ahora resuelva el problema anterior suponiendo que la estructura ha sido rediseñada para usar pasadores de 5/16 pulg en A, C y B sin otros cambios.

Ejercicios 1.50, 1.51 & 1.53

En la estructura de acero, mostrada en la siguiente figura, un pasador de 6mm de diámetro se utiliza en C y pasadores de 10mm tanto en B como en D:

El cortante último es de 150 MPa en todas las conexiones y el esfuerzo último normal en el conector BD es de 400 MPa. Si se desea un Factor de Seguridad de 3, Halle a) la mayor fuerza P que se puede aplicar en A (note que el conector BD no está reforzado alrededor de los agujeros de los pasadores). b) Ahora resuelva este mismo problema suponiendo que la estructura se ha rediseñado para utilizar pasadores de 12mm en B y D. Ningún otro cambio se ha hecho. c) Ahora resuelva este mismo problema suponiendo que se han cambiado los diámetros en los pasadores en B y D a 11.5mm y que ningún otro cambio se ha hecho.

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Tarea 2 Mecánica de Sólidos

2008-02-24T23:23:00.005-06:00

Tarea del tema de Esfuerzos en planos inclinados:

Ejercicios 1.35 & 1.38

Dos elementos de madera, de sección uniforme 80 x 120 mm, están unidos con pegante según la junta mostrada en la siguiente figura:

Si P=800lb, halle a) el esfuerzo normal y b) el esfuerzo cortante en la unión con pegante. Sabiendo que el cortante admisible máximo para la unión de estas 2 barras es de 600 kPa, halle c) la máxima fuerza P que puede aplicarse y d) el esfuerzo normal correspondiente.

Ejercicios 1.36 & 1.37

Dos elementos de madera, con sección uniforme de 3 x 5 pulg, están unidos con pegante según la junta mostrada en la siguiente figura:

Si P=800lb, halle a) el esfuerzo normal y b) el esfuerzo cortante en la unión con pegante. Sabiendo que el máximo esfuerzo admisible de tensión para la unión de estas 2 barras es de 60 psi, halle c) la mayor carga P que puede aplicarse y d) el esfuerzocortante correspondiente.

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Sistemas de Numeración (Aritmética)

2008-02-17T12:16:00.003-06:00

Para poder aprender a utilizar las matemáticas, lo primero que se debe conocer es el idioma o lenguaje en el que se "expresan" estas matemáticas. Este lenguaje es el de los números. Así como existen muchas naciones diferentes, y cada una adopta un idioma diferente, así mismo hay diferentes Sistemas de Numeración diferentes.

Podemos distinguir dos clases Sistemas de Numeración: antiguos y modernos.

Los sistemas antiguos se desarrollaron en cada civilización antigua y su finalidad era solamente para contar y llevar registro de cantidades; realizar operaciones con estos números era una tarea titánica reservada casi exclusivamente al sabio del reino. La característica principal de estos sistemas antiguos es que son Aditivos. Los números se escribían poniendo un símbolo por cada objeto o grupo de objetos. Esto hacía que la escritura de números fuera muy compleja. Un ejemplo es el Sistema de numeración Romana, en la que para escribir el número 33 habría que escribir "3 dieces" y "3 unidades" de la siguiente manera: XXXIII.

Los sistemas de numeración modernos se basan en una propiedad inigualablemente extraordinaria del antiguo Sistema de Numeración Decimal Indoarábigo. Esta propiedad es que los números adquieren diferentes valores dependiendo la posición en la que se escriban en una cifra. Debido a esto se llaman sistemas de numeración posicionales.

Existen muchos sistemas de numeración posicional, cada uno de ellos con su aplicación especial. Por ejemplo, el Sistema Binario se utiliza en la comunicación entre computadoras y aparatos electrónicos; el Sistema de Hexadecimal se utiliza para la codificación en procesadores de 16 bits; pero el sistema más utilizado alrededor de todo el mundo es el Sistema de Numeración Decimal Indoarábigo.

El Sistema de Numeración Decimal Indoarábigo es el que utilizamos cotidianamente y se llama Indoarábigo porque se dio a conocer en todo el mundo a través de los árabes y se creía que ellos lo desarrollaron. Sin embargo, se ha descubierto evidencia que indica que se originó en la India.

Es un sistema de numeración Decimal porque su base es el número 10; Además, es un sistema posicional, pues el valor de los diferentes dígitos escritos en un número o cifra dependen de la posición en dicha cifra: así, en el número 23, el dígito 3 vale tres, pero el dígito 2 vale veinte.

Este sistema incluye una metodología para nombrar a todos los números conocidos, ya sean enteros o fracciones.

Para ver una explicación animada y ejercicios de algunos Sistemas de Numeración descarga los siguientes archivos de diapositivas:

Sistema de Numeración Decimal Indoarábigo. Para descargar haz clic aqui.

Lectura y Escritura de Números Decimales. Para descargar haz clic aqui.

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Tarea 1 Mecánica de Sólidos

2008-02-16T10:24:00.009-06:00

Tarea 1 de Mecánica de Materiales: Ejercicio 1.15 (del libro Beer & Russell 2ª Ed)

Cada uno de los eslabones AB y CD tienen una sección rectangular uniforme de ¼ por 1 pulg. Sabiendo que el esfuerzo normal medio en cualquier eslabón no debe pasar de 25 ksi, halle la carga máxima que puede aplicarse en E, si la carga está dirigida (a) verticalmente hacia abajo, (b) verticalmente hacia arriba.

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Funciones y Relaciones (Geometría Analítica)

2008-01-29T08:30:00.001-06:00

Una ecuación de 2 o más variables representa una regla de correspondencia o Relación entre las variables. Esta regla de correspondencia señala los valores que deben o pueden tomar las variables. El valor de la última variable se tiene que calcular, no podemos determinarlo arbitrariamente, pues está restringido por el valor de las demás variables.

Las relaciones o reglas de correspondencia más comunes son las de 2 variables, debido a que se pueden representar gráficamente en el Plano Cartesiano. En estas relaciones escogemos a nuestro gusto el valor de una variable (variable independiente) y calculamos el valor de la otra (variable dependiente). Por costumbre y comodidad se han escogido que las variables sean x para la variable independiente y y para la variable dependiente. De esta manera se tienen las mismas letras que en el eje x y el eje y del Plano Cartesiano.

Si para cada valor que escogimos (variable independiente) corresponden 2 o más valores de la otra variable (variable dependiente) tenemos una relación. Pero, si para cada valor que escogimos (variable independiente) corresponde SÓLO UN VALOR de la otra variable (variable dependiente) tenemos una FUNCIÓN.

Las funciones, al igual que las ecuaciones, se clasifican por su grado, tipo de los términos y número de variables. Cuando se clasifican por su grado es muy común asignarle nombres relacionados con su gráfica. Así, las de primer grado suelen llamarlas funciones lineales, pues su gráfica es una línea recta; a las de segundo grado suelen llamarlas funciones parabólicas, pues su gráfica es una parábola.

Los siguientes son ejemplos de nombres de diferentes funciones según el tipo de sus términos: Logarítmicas, Exponenciales, Racionales, Hiperbólicas, Elípticas, Asintóticas, Periódicas, etc.

Para ver una explicación animada y ejercicios de estos temas, descarga los siguientes archivos:

Funciones: Definición y clasificación. Para descargar haz clic aqui.

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Ecuaciones y su Clasificación (Álgebra)

2008-01-16T15:14:00.001-06:00

Las Ecuaciones son igualdades en las que se tiene una o más incógnitas, es decir, tenemos uno o más números que no conocemos su valor dentro de los operaciones descritas en la igualdad.

La definición formal de ecuación es la siguiente: "Una ecuación es una comparación, mediante un signo de igual, de dos expresiones algebraicas". Estas expresiones algebraicas son la representación escrita de operaciones aritméticas entre números (si conocemos su valor numérico) y variables o incógnitas (no conocemos su valor numérico).

Las ecuaciones se clasifican por el grado de sus términos y por la cantidad de incógnitas diferentes que presentan. Esta clasificación obedece a la forma en cómo se resuelven los diferentes tipos de ecuaciones.

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Ecuaciones: Definición y clasificación. Para descargar haz clic aqui.

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La recta (Geometría Analítica)

2008-01-14T20:18:00.006-06:00

Existen muchas definiciones para la recta; cada una de estas definiciones tiene que ver con el contexto. La definición según la geometría euclidiana ya la conocemos desde la primaria:

"Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella"

tomada del libro de los Elementos de Euclides.

De esta recta nos enseñaron que se prolonga indefinidamente hacia ambas direcciones, que es infinita y que nunca "da vuelta". En pocas palabras es una línea "derechita" e infinita.

La definición "formal" de la Recta en Geometría Analítica es la siguiente:

"Una recta es el conjunto de todos los puntos del plano, donde las coordenadas de cada punto obedecen una relación de primer grado"

Para la Geometría Analítica lo importante de la recta es encontrar la ecuación que la "genera" y esta ecuación es esa "relación de primer grado" que dice la definición.

En conclusión, La recta es una función de primer grado de 2 variables. Esta Función o ecuación de la recta se puede escribir de varias maneras y cada manera diferente (o forma de la recta) lleva un nombre diferente. Estas maneras son las 6 siguientes (Una explicación más amplia la encontrarás en los siguientes archivos para descargar):

Forma General de la Ecuación de la Recta: Para descargar haz clic aquí.

Forma Canónica de la Ecuación de la Recta: Para descargar haz clic aquí.

Forma punto-pendiente de la Ecuación de la Recta: Para descargar haz clic aquí.

Forma dos-puntos de la Ecuación de la Recta: Para descargar haz clic aquí.

Forma Simétrica de la Ecuación de la Recta: Para descargar haz clic aquí.

Forma Normal de la Ecuación de la Recta: Para descargar haz clic aquí.

Ejercicios de "la Ecuación de la Recta": Para descargar haz clic aquí.

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Para graficar un recta a partir de la ecuación se deben encontrar pares de valores. Cada par es una "coordenada". Estos puntos se unen y se obtiene la gráfica.

Para ayudarte a graficar rectas puedes descargar el siguiente graficador: GrafRecta1.0

Para correr este graficador necesitas LabVIEW Run-Time Engine 7.0 - Windows/2000/98/ME/NT/XP.

La Circunferencia (Geometría Analítica)

2008-01-14T20:18:00.005-06:00

La circunferencia es un "dibujo" que todos conocemos. Es un trazo de una línea curva cerrada que "da una vuelta perfecta". La definición "formal" de la Circunferencia es la siguiente:

"Una Circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de otro punto del plano llamado Centro"

Esto significa que cada punto de la circunferencia tiene la misma distancia al centro. Esta distancia se le llama radio de la circunferencia. De esta manera, cuando trazas una circunferencia con un compás, la abertura de este compás es precisamente lo que mide el radio.

La circunferencia forma parte de "las cónicas" o "proyecciones cónicas". Se les llama cónicas porque surgen del cruce de un plano con un cono (en realidad doble cono, unidos estos conos por su punta). Todas estas cónicas se generan a partir de una forma particular de una ecuación de 2 variables de 2º grado. Así, la ecuación de una circunferencia es de segundo grado en x y también de segundo grado en y.

Para ver una explicación animada y ejercicios de la circunferencia, descarga los siguientes archivos:

Forma General de la Ecuación de la Circunferencia: Para descargar haz clic aquí.

Forma Canónica de la Ecuación de la Circunferencia: Para descargar haz clic aquí.

Forma Simétrica de la Ecuación de la Circunferencia: Para descargar haz clic aquí.

Forma Normal o paramétrica de la Ecuación de la Circunferencia: Para descargar haz clic aquí.

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Para graficar una circunferencia a partir de la ecuación se deben encontrar varios pares de valores. Cada par es una "coordenada". Estos puntos se unen y se obtiene la gráfica.

Para ayudarte a graficar rectas puedes descargar el siguiente graficador: GrafCircunf1.0

Para correr este graficador necesitas LabVIEW Run-Time Engine 7.0 - Windows/2000/98/ME/NT/XP.

Plano Cartesiano (Geometría Analítica)

2008-01-14T20:17:00.005-06:00

El Plano Cartesiano es una herramienta muy útil en muchas actividades diarias. Sirve como referencia en un plano cualquiera; por ejemplo, el plano (o el suelo) de nuestra cuidad.

Se llama Plano Cartesiano porque lo inventó el filósofo y matemático René Descartes (1596-1650).

El Plano Cartesiano se construye dibujando dos rectas numéricas, una horizontal y la otra vertical, que se atraviesan una a la otra en sus respectivos ceros; este cruce en el cero se le llama origen y a cada una de las rectas se les llama ejes cartesianos o ejes coordenados.

En la recta horizontal los números positivos están a la derecha del origen y los negativos a la izquierda del origen. En la recta vertical los números positivos están arriba del origen y lo negativos abajo del origen. Además, también se pueden trazar rectas paralelas a los ejes y formar así una cuadrícula.

La utilidad y versatilidad del Plano Cartesiano consiste en que se puede ubicar un punto sin confusiones con sólo dos números. Estos dos números se llaman coordenadas o par ordenado y el orden es (x,y).

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El plano cartesiano. Para descargar haz clic aquí.

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Gráfica de una Función (Geometría Analítica)

2008-01-14T20:17:00.004-06:00

La gráfica de una función es la representación geométrica en un plano cartesiano de una función de 2 variables (ecuación de 2 incógnitas). La representación geométrica es una figura dibujada en el plano que se obtiene de unir muchos puntos consecutivos tan juntos que aparentan ser una línea continua.

Para encontrar la gráfica de una función de 2 variables (generalmente x y y) se van calculando valores de las variables (para cada valor de x corresponde un valor de y) formándose parejas de números. Cada pareja de valores representa un punto en el plano cartesiano. Cuando se tienen suficientes puntos se pueden ir uniendo por líneas hasta formar figuras características para cada tipo de función.

Encontrar la figura que se obtiene de una ecuación o encontrar la ecuación que describe a una figura geométrica son los objetivos que persigue la Geometría Analítica. Para ello se auxilia de la geometría y del álgebra; aunque ésta última es la de mayor importancia para la geometría analítica.

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Gráfica de una función. Para descargar haz clic aquí.

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Áreas (Geometría)

2008-01-14T20:16:00.005-06:00

El área es la cantidad de superficie de una figura plana. Dicho de otra manera es el tamaño de la región interna de una figura geométrica. El área se mide en unidades al cuadrado: metros cuadrados, centímetros cuadrados, pulgadas cuadradas, etc.

El cálculo del área es un problema bastante antiguo y se tienen ya soluciones específicas para las figuras geométricas más simples; por ejemplo, para encontrar el área de un paralelogramo sólo se requiere multiplicar la base por la altura de ese paralelogramo.

El área de cualquier triángulo se obtiene de la mitad de su base por su altura. El área de cualquier polígono (regular e irregular) se puede obtener al descomponerlo en triángulos.

El área del círculo se obtiene de multiplicar el cuadrado de su radio por el valor de pi. Pero para calcular el área de figuras más complejas se tiene que ocupar una herramienta más poderosa, pero también más complicada, de las matemáticas: el cálculo diferencial e integral.

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Áreas de polígonos y la circungerencia. Para descargar haz clic aquí.

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Volúmenes (Geometría)

2008-01-14T20:16:00.004-06:00

El Volumen de un cuerpo es la cantidad de "espacio" que ocupa. El volumen es un concepto que relacionamos frecuentemente con el tamaño y hasta se puede decir que son lo mismo. En geometría, cualquier cuerpo cerrado se le denomina sólido, pues no cambia de tamaño y está bien limitado en todas direcciones por los lados o caras del cuerpo.

El volumen de un cubo (o cualquier otra figura de caras paralelas: paralelepípedo) se calcula multiplicando su largo por su ancho por su alto.

El volumen de un prisma cualquiera se calcula, en general, multiplicando el área de su base por la altura del prisma.

El volumen de una esfera se calcula encontrando las cuatro terceras partes del valor de pi, multiplicado por el cubo del radio.

El volumen de cuerpos o sólidos complejos se calcula con una herramienta más poderosa, pero también más complicada, de las matemáticas: el cálculo diferencial e integral.

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Volúmenes de principales figuras. Para descargar haz clic aquí.

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Triángulos Rectángulos (Geometría)

2008-01-14T20:16:00.001-06:00

Un Triángulo Rectángulo es el que tiene uno de sus ángulos internos igual a un ángulo recto (90º). En consecuencia, sus otros dos ángulos internos son agudos (< 90º).

Los triángulos rectángulos son los más importantes entre los triángulos porque cualquier triángulo se puede dividir en 2 triángulos rectángulos. Esta característica hace que sean los triángulos más estudiados y sean la base de la trigonometría.

Los lados de un triángulos rectángulo tienen nombres específicos: los 2 lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al ángulo recto (que es el más largo del triángulo) se llama hipotenusa.

Es en estos triángulos rectángulos en donde se aplica el Teorema de Pitágoras; además, a partir de estos triángulos se desarrollaron las Funciones Trigonométricas (Seno, Coseno, Tangente y sus Recíprocas).

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Triángulos Rectángulos y Teorema de Pitágoras. Para descargar haz clic aquí.

Triángulos Rectángulos y Funciones Trigonométricas. Para descargar haz clic aquí.

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Teorema de Semejanza de Triángulos (Geometría)

2008-01-14T20:15:00.004-06:00

El teorema de semejanza de triángulos dice en pocas palabras que son triángulos semejantes aquellos que tienen la misma "forma", sólo son diferentes en tamaño: un triángulo es más grande que el otro. El enunciado textual de este teorema dice lo siguiente:

"Dos triángulos son semejantes si todos sus lados son respectivamente proporcionales; o bien, son semejantes si tienen todos sus ángulos respectivamente iguales"

Para saber si un par de triángulos son semejantes, no es necesario comprobar que sus seis elementos (los 3 lados y los 3 ángulos de cada triángulo) cumplen el teorema. Es suficiente comprobar que 3 de los elementos respectivos de cada triángulo cumplen el teorema, pues si 3 elementos cumplen el teorema, los otros 3 forzosamente también lo cumplen.

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Teorema de Semejanza de Triángulos. Para descargar haz clic aquí.

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Triángulos (Geometría)

2008-01-14T20:15:00.003-06:00

Los triángulos son lo polígonos más simples, pues constan tan sólo de tres lados y también de tres ángulos. De ahí su nombre de triángulo o trígono: Tri = tres; ángulo = ángulo; gono = lado.

Los triángulos tienen una importancia suprema en la geometría, pues todo polígono puede ser descompuesto o formado por triángulos. Esta gran importancia de los triángulos en la geometría, ya la conocían los geómetras desde los tiempos de las primeras civilizaciones.

El estudio tan amplio de los triángulos, que ha generado en sí misma una rama de la Geometría y de las Matemáticas, es la Trigonometría.

Los triángulos se clasifican de acuerdo al tamaño de sus lados, en equilátero, isósceles o escaleno; o bien, por el tamaño de sus ángulos, en acutángulos, rectángulos u obtusángulos.

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Triángulos y su clasificación. Para descargar haz clic aquí.

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Polígonos (Geometría)

2008-01-14T20:14:00.004-06:00

Los polígonos son figuras formadas por tres o más lados y son muy familiares para nosotros. Cotidianamente vemos polígonos por doquier. Cualquier objeto moderno contiene, al menos en su diseño, un polígono.

Los polígonos son figuras planas o bidimensionales (2 dimensiones). Esto quiere decir que podemos medirle su largo y ancho pero no tienen altura, y si la quisiéramos medir sería cero.

La definición formal es la siguiente: un polígono es la porción del plano delimitada por una línea poligonal cerrada. Con línea poligonal se quiere expresar una línea quebrada, que se pueden distinguir secciones rectas que terminan donde empieza otra línea recta y en otra dirección. Con cerrada se quiere decir que la última línea se junta con la primera, formando un ciclo o borde que rodea y encierra a una región del plano.

Los polígonos se clasifican por su número de lados, por las características de sus ángulos internos y por las relaciones entre sus lados opuestos.

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Ángulos entre líneas paralelas y una oblicua (Geometría)

2008-01-14T20:14:00.003-06:00

Los ángulos que se forman al cruzarse una línea cualquiera con otras 2 o más líneas paralelas. En el cruce de una línea con otra se forman 4 ángulos; si has dos cruces, una línea cualquiera con dos líneas paralelas, se formarán 8 ángulos; si has tres cruces, una línea cualquiera con tres líneas paralelas, se formarán 12 ángulos; y así sucesivamente aumentarán 4 ángulos por cada cruce de líneas.

Estos ángulos tienen propiedades muy interesantes, pues la mitad de ellos son iguales entre sí, la otra mitad de estos ángulos también es igual entre sí. Esto significa que sólo tenemos 2 tamaños diferentes de ángulos y, además, la suma de estos 2 ángulos diferentes es 2 rectos (180º).

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Ángulos entre paralelas. Para descargar haz clic aquí.

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Ángulos (Geometría)

2008-01-14T20:13:00.001-06:00

Un ángulo es la "abertura" entre dos líneas que se cruzan en un punto. Esta noción de ángulo es muy familiar para nosotros, pues durante nuestra vida hemos observado y descrito los ángulos de todos los objetos que vemos.

En geometría se estudian con todo detenimiento y precisión estos ángulos. Es en esta rama de las matemáticas en donde miden y clasifican estos ángulos, se estudian sus propiedades y sus relaciones con otros ángulos.

Los ángulos se miden principalmente en grados sexagesimales, aunque existen otros tipos de unidades para medirlos. Por ejemplo, las revoluciones, que son vueltas enteras; los gradianes o grados centesimales, que dividen la vuelta entera en 400 partes iguales en lugar de 360, como los grados sexagesimales.

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Sistema de dos Ecuaciones Lineales Simultáneas con dos Incógnitas (Álgebra)

2008-01-14T20:12:00.001-06:00

Un sistema de 2 ecuaciones simultáneas con 2 incógnitas es un par de ecuaciones que tienen exactamente las mismas 2 incógnitas. Este tipo de sistemas de ecuaciones simultáneas es muy común que aparezca en problemas donde se plantean 2 sucesos distintos con las mismas cosas. De cada suceso se obtiene una ecuación y las dos ecuaciones involucran las mismas cosas (mismas variables o incógnitas).

Un ejemplo clásico es el siguiente: Un niño es 25 años menor que su padre, dentro de 18 años el niño tendrá la mitad de la edad del padre ¿Cuántos años tiene el niño y el padre? La solución, como puede verificarse, es que el niño tiene 7 años y el padre 32.

Este tipo de problemas se suelen plantear como retos en reuniones y muy comúnmente son los niños los que plantean este tipo de preguntas... ¡mas vale responderlas correctamente si no se quiere quedar como tonto!

Los métodos de solución de este tipo de sistemas son varios y muy diferentes entre sí. El más ampliamente utilizado es el de “suma y resta”, pero hay métodos más sencillos que son de bastante utilidad cuando se pueden plantear correctamente.

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Método de Suma y Resta para resolver 2 ecuaciones simultáneas con 2 incógnitas. Para descargar haz clic aquí.

Método de Sustitución para resolver 2 ecuaciones simultáneas con 2 incógnitas. Para descargar haz clic aquí.

Método de Igualación para resolver 2 ecuaciones simultáneas con 2 incógnitass. Para descargar haz clic aquí.

Método de los determinantes para resolver 2 ecuaciones simultáneas con 2 incógnitas. Para descargar haz clic aquí.

Método gráfico para resolver 2 ecuaciones simultáneas con 2 incógnitas. Para descargar haz clic aquí.

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Ecuaciones de Segundo Grado: una Incógnita (Álgebra)

2008-01-14T20:11:00.001-06:00

Las Ecuaciones de segundo grado de una incógnita son igualdades (de una sola incógnita, por supuesto) en la cual, en alguno de sus términos, la incógnita tiene potencia igual a dos.

Las ecuaciones de segundo grado suele llamárseles también ecuaciones cuadráticas o parabólicas. Cuadráticas por estar elevada al cuadrado la variable; Parabólica porque su gráfica es una parábola.

Resolver una ecuación cuadrática de una incógnita es encontrar los dos valores de esa incógnita que satisfacen la ecuación, es decir, los valor que al sustituirlos (uno a la vez) por la variable se confirma que los dos miembros de la ecuación son verdaderamente iguales.

Existen varios procedimientos para encontrar este valor. Uno de ellos es el método de la factorización, otro es el de la fórmula general, también por aproximaciones sucesivas por métodos numéricos; uno inexacto es el método gráfico.

Para ver una explicación animada y ejercicios de estos temas, descarga los siguientes archivos:

Ecuaciones de segundo grado y solución por factorización. Para dscargar haz clic aquí.

Ecuaciones de segundo grado y solución por fórmula gneral. Para dscargar haz clic aquí.

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Ecuaciones de Primer Grado: una Incógnita (Álgebra)

2008-01-14T20:10:00.004-06:00

Las Ecuaciones de primer grado de una incógnita son igualdades en las que se tiene sólo una incógnita. Esta incógnita está representada por una letra o algún otro símbolo.

Las ecuaciones de primer grado suele llamárseles también ecuaciones lineales, pues su gráfica es una línea recta. En este caso particular, de ecuaciones de una incógnita, las gráficas de estas ecuaciones son líneas perfectamente horizontales o verticales.

Resolver una ecuación linear de una incógnita es encontrar el valor (o los valores) que satisface la ecuación, es decir, el valor que al sustituirlo por la variable se confirma que los dos miembros de la ecuación son verdaderamente iguales. El procedimiento para encontrar este valor se llama Despeje.

Para ver una explicación animada y ejercicios de este tema, descarga los siguientes archivos:

Ecuaciones de primer grado con una incógnita y su solución. Para descargar haz clic aquí.

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Operaciones con Polinomios (Álgebra)

2008-01-14T20:09:00.002-06:00

Los operaciones que se pueden hacer con polinomios son esencialmente las mismas que se pueden hacer con los números Reales. Es decir, la suma, la resta, la multiplicación, etc.

Las operaciones con polinomios tienen algunas reglas particulares para llevarse a cabo, por eso conviene estudiarlas detenidamente cada operación por separado.

Para ver una explicación animada y ejercicios de estos temas, descarga los siguientes archivos:

Suma y Resta de Polinomios. Para descargar haz clic aquí.

Multiplicación de Polinomios. Para descargar haz clic aquí.

División de Polinomios. Para descargar haz clic aquí.

Potencia de Polinomios. Para descargar haz clic aquí.

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Polinomios (Álgebra)

2008-01-14T20:08:00.001-06:00

Un Polinomio es una expresión algebráica con varios términos. Polinomio significa precisamente varios términos (poli = muchos o varios; nomio = término).

Los términos de un polinomio se distinguen unos de otros porque están separados por signos de suma o resta (+ o -) y dentro de ellos los números y las variables se multiplican y dividen. Estos términos pueden ser semejantes o no. Son semejantes cuando sus incógnitas coinciden tanto en letra como en exponente. Son no-semejantes cuando sus incógnitas difieren.

Los polinomios se clasifican y nombran de acuerdo al número de términos que lo forman y de acuerdo con el grado de sus términos.

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Polinomios. Para descargar haz clic aquí.

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Despejes (Álgebra)

2008-01-14T20:07:00.003-06:00

Un despeje es un procedimiento con el que se encuentra el valor de una incógnita presente en una ecuación. Este despeje es una herramienta muy poderosa (cuando se aplica correctamente) para encontrar valores de variables contenidas en alguna ecuación.

Estas ecuaciones deben tener sólo una incógnita para determinar con certeza su valor. Puede ser que se tengan varias variables, pero sólo una será la incógnita: todas las demás variables deben tener un valor asignado.

De lo contrario, si estas ecuaciones tienen dos o más incógnitas, no se puede encontrar un valor específico de ellas; en este caso sólo encontraremos funciones o relaciones entre las variables.

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Conceptos Básicos y Definiciones del Álgebra

2008-01-14T20:06:00.000-06:00

El Álgebra es una rama de las matemáticas que estudia los números y sus propiedades en forma general. No necesita el valor de un número para poder saber sus propiedades y operarlo, para ello lo sustituye por un símbolo que generalmente es una letra.

Al empezar con el estudio del Álgebra aparecen nuevas expresiones, a las que llamamos expresiones algebraicas, y conviene nombrarlas para identificarlas correctamente durante cualquier intercambio de información.

De este modo, al conjunto de números y letras que representan operaciones entre cantidades se llama expresión algebraica. Esta expresión se puede separar en términos; Los términos se distinguen uno de otro porque están separados por un signo de mas (+) o un signo de menos (-), esto significa que entre letras y números sólo puede haber multiplicaciones y divisiones para agruparlos.

Dentro de cada término distinguimos números que llamamos Coeficientes y Letras que llamamos Incógnitas o variables. Estas incógnitas o variables pueden tener o no un exponente, que es un número que se escribe más pequeño y en la parte superior derecha de la incógnita. Este exponente representa la potencia de esa incógnita y a partir de éstos exponentes se obtiene el grado de un término.

Dos términos son semejantes si la parte incógnita de ambos es idéntica.

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Definiciones Básicas de Álgebra. Para descargar haz clic aquí.

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Igualdades y Despejes (Aritmética)

2008-01-14T20:05:00.005-06:00

Una Igualdad es una circunstancia en donde se tienen 2 o más cantidades todas iguales entre sí. En matemáticas, esta igualdad se representa por expresión en donde se comparan dos cantidades (o más) y se afrma que son iguales. Esta afirmación es mediante el signo "=".

De esta manera, una igualdad está siempre escrita por números u operaciones entre números separadas por un signo de igual de otros números u operaciones entre números.

Un despeje es un procedimiento con el que se encuentra un número desconocido en una igualdad. Este procedimiento obedece a las propiedades de las operaciones entre números y a la única condición de que las des expresiones separadas por un signo de igual sean verdaderamente iguales.

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Porcentajes (Aritmética)

2008-01-14T20:03:00.001-06:00

Un Porcentaje, también conocido como tanto por ciento, es una parte de un total, es una fracción del entero, pero medida en centésimos.

Calcular un porcentaje es contar cuantas partes tenemos de las cien partes iguales en las que se divide cualquier cantidad.

Decir que in artículo tiene un descuento del 25% significa que el precio se dividirá en 100 partes iguales y que no pagarás 25 de esas 100 partes iguales. Sólo pagaras las 75 partes restantes: el 75%. Cabe hacer hincapié aquí, que sólo cómo este porcentaje sigue siendo una fracción, pues no pagarás el total del precio sino una fracción de él.

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Razones Proporcionales y Regla de 3 (Aritmética)

2008-01-14T14:59:00.001-06:00

Las Proporciones es una manera de poder encontrar relaciones entre cantidades que crecen o dismuniyen de la misma manera. Así, la cantidad de dinero que pagas por lo que compras en la tienda va creciendo "en la misma proporción" con la que crece el número de artículos que comprarás. A este tipo de relación entre cantidades se le llama en Matemáticas Proporción directa o Razones Proporcionales.

Si por el contrario, al crecer una cantidad, otra relacionada con esta disminuye, se le llama Proporción Inversa o Productos Proporcionales. De esta manera varían los lados de un rectángulo cuya área no cambia: si un lado disminuye su tamaño, el otro tiene que aumentar para conservar el área sin cambio.

La regla de 3 es una simplificación de plantear las proporciones. De este modo, encontramos las operaciones que se deben realizar sin escribir varios pasos. En un sólo paso se encuentra el resultado.

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Razones Proporcionales y Regla de 3. Para descargar haz clic aqui.

Proporciones directas y proporciones inversas. Para descargar haz clic aqui.

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Sistema de Numeración Decimal (Aritmética)

2008-01-14T14:17:00.001-06:00

El sistema de numeración que todos conocemos y usamos en la vida diaria es un sistema decimal, pues cuanta las cantidades de diez en diez. Esto se debe primordialmente a que los dedos de ambas manos son diez. Así, contar los objetos es relativamente fácil al asignar un dedo por objeto y llevar la cuenta de cuantas veces llenamos las manos (juntamos un diez o una decena). Al llenar diez veces ambas manos hemos contado una centena (diez dieces).

Este fue el origen de nuestro sistema de numeración decimal tan utilizado y conocido en todo el mundo y por todos las culturas. Este sistema lo dieron a conocer los árabes al ejercer el comercio en todo el mundo, pero se tienen registros de que se inventó en la India. Así pues, nuestro sistema de numeración decimal y posicional recibe también el nombre de "Sistema de numeración Indo-Arábigo".

Lo que lo hace tan usado y poderoso es precisamente que es un sistema posicional. Es decir, las cifras o dígitos adquieren diferentes valores de acuerdo a la posición en la que se presenten dentro de un número. Así, en el número 12, el dígito 1 vale más que el dígito 2 porque representa 1 decena, es decir, representa 10 unidades.

Sistema de Numeración Decimal. Para descargar haz clic aquí.

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Bachillerato a distancia

2007-11-24T14:02:00.000-06:00

La intención de este blog es ofrecer ayuda en temas relacionados con Matemáticas donde alumnos de educación media y media superior tienen problemas. La idea es aprovechar los recursos tecnológicos y de informática con los que contamos hoy en día.

Siguiendo en esta línea de trabajo, estoy incursionando en una nueva modalidad de estudiar la preparatoria de manera escolarizada, esto es: Bachillerato a distancia.

En esta modalidad, los alumnos de un bachillerato a distancia "toman clases" de manera vurtual. Tienen que "asistir" a clases como en cualquier escuela y cumplir con un mínimo de asistencias. La ventaja es que las clases, o mejor dicho, los cursos virtuales, se toman en el horario que mejor convenga a los alumnos.

Uno de los programas de Bachillerato a distancia lo ofrece la UNAM a través de los gobiernos locales (B@UNAM). Espero formar próximamente parte de este programa como profesor, es decir: "Asesor a Distancia".

Ojalá y esta información sea de utilidad para las personas que deseen estudiar el bachillerato escolarizado, pero sus actividades laborales o la edad no les permite realizarlo en una escuela tradicional.

Geometría analítica Parte 1

2007-08-29T12:20:00.001-05:00

La Geometría Analítica es la rama de las Matemáticas que estudia a las figuras geométricas, sus propiedades y su posición en el plano cartesiano a través de las funciones o ecuaciones que las generan.

La Geometría Analítica es por si sola una rama muy extensa de las matemáticas, por lo que este curso se limita al estudio de las Secciones Cónicas. Las secciones cónicas son aquellos cortes de un cono doble por un plano.
En esta primera parte de cuatro, se ofrecen los siguientes temas:

Generalidades: Para descargar haz clik aquí.

Distancia entre 2 puntos.
Punto medio.
Pendiente.

Repaso de álgebra: completar TCP

Secciones cónicas.

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Probabilidad y Estadística Parte 2

2007-08-29T12:07:00.001-05:00

La Probabilidad es la rama de las Matemáticas que estudia a los eventos o experimentos en los que no se sabe con certeza el resultado que se obtendrá.

La Estadística es la rama de las Matemáticas que estudia los conjuntos de datos su interpretación y la manera de representarlos.

En esta segunda parte de dos, se ofrecen los siguientes temas:

Medidas de Tendencia Central para Datos No-Agrupados.

Tipos de Datos Agrupados. Para descargar haz clik aquí.

Medidas de Tendencia Central para Datos Agrupados.

Representación de Datos Agrupados Discretos.

Representación de Datos Agrupados Continuos.

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Probabilidad y Estadística Parte 1

2007-08-29T11:59:00.000-05:00

La Probabilidad es la rama de las Matemáticas que estudia a los eventos o experimentos en los que no se sabe con certeza el resultado que se obtendrá.

La Estadística es la rama de las Matemáticas que estudia los conjuntos de datos su interpretación y la manera de representarlos.

En esta primera parte de dos, se ofrecen los siguientes temas:

Definición.

Técnicas de conteo:

Diagrama de Árbol y Principio Multiplicativo. Para descargar haz clik aquí.
Combinaciones y Permutaciones.

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Geometría Parte 4

2007-08-20T15:38:00.001-05:00

La Geometría es la rama de las Matemáticas que trata de las propiedades y medida de la extensión. La Geometría elemental estudia las propiedades intrínsecas de las figuras, es decir, las que no se alteran con el movimiento de las mismas.

La Geometría es por si sola una rama muy extensa de las matemáticas, por lo que este curso se limita al estudio de la Geometría Plana (o Geometría Euclidiana) y sólidos. La Geometría Plana se define como la parte de la Geometría que considera las figuras que están contenidas en su totalidad en un solo plano.
En esta cuarta parte de cuatro, se ofrecen los siguientes temas:

Factores de Conversión.

Círculo y Circunferencia. Para descargar haz clik aquí.

Líneas en la Circunferencia. Para descargar haz clik aquí.

Ángulos en la Circunferencia. Para descargar haz clik aquí.

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Geometría Parte 3

2007-08-20T15:30:00.001-05:00

La Geometría es por si sola una rama muy extensa de las matemáticas, por lo que este curso se limita al estudio de la Geometría Plana (o Geometría Euclidiana) y sólidos. La Geometría Plana se define como la parte de la Geometría que considera las figuras que están contenidas en su totalidad en un solo plano.
En esta tercera parte de cuatro, se ofrecen los siguientes temas:

Polígonos. Para descargar haz clik aquí.

Perímetros. Para descargar haz clik aquí.

Áreas. Para descargar haz clik aquí.

Sólidos.

Volúmenes.

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Geometría Parte 2

2007-08-20T15:22:00.001-05:00

La Geometría es por si sola una rama muy extensa de las matemáticas, por lo que este curso se limita al estudio de la Geometría Plana (o Geometría Euclidiana) y sólidos. La Geometría Plana se define como la parte de la Geometría que considera las figuras que están contenidas en su totalidad en un solo plano.
En esta segunda parte de cuatro, se ofrecen los siguientes temas:

Elementos del triángulo rectángulo y Teorema de Pitágoras. Para descargar haz clik aquí.

Igualdad y Semejanza de Triángulos. Para descargar haz clik aquí.

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Geometría Parte 1

2007-08-20T14:02:00.001-05:00

La Geometría es por si sola una rama muy extensa de las matemáticas, por lo que este curso se limita al estudio de la Geometría Plana (o Geometría Euclidiana) y sólidos. La Geometría Plana se define como la parte de la Geometría que considera las figuras que están contenidas en su totalidad en un solo plano.
En esta primera parte de cuatro, se ofrecen los siguientes temas:

Definiciones. Para descargar haz clik aquí.

Ángulos. Para descargar haz clik aquí.

Triángulos (Generalidades).

Cuadrángulos (Generalidades).

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Un poco de humor entre tantos problemas (matemáticos, jeje)

2007-08-12T14:17:00.000-05:00

Este es una presentación muy graciosa al respecto de matemáticas que anda circulando por la red. La quiero compartir con todos ustedes y la dejo aqui para que la descarguen... ojalá los haga reir un rato.

Álgebra Parte 5

2007-08-09T16:14:00.001-05:00

El Álgebra es la rama de las matemáticas que utiliza letras para representar números cuando no conocemos su valor (incógnitas).
En esta quinta parte de cinco se ofrecen los siguinetes temas para descargar:

El Plano Cartesiano y sus Regiones. Para descargar haz clik aquí.

Gráfica de una Función. Para descargar haz clik aquí.

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Álgebra Parte 4

2007-08-09T16:11:00.000-05:00

El Álgebra es la rama de las matemáticas que utiliza letras para representar números cuando no conocemos su valor (incógnitas).
En esta cuarta parte de cinco se ofrecen los siguinetes temas para descargar:

Sistemas de ecuaciones simultáneas (3 ecuaciones con 3 incógnitas). Para descargar haz clik aqui.

Resolución de ecuaciones de segundo grado o cuadráticas. Para descargar haz clik aqui.

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Álgebra Parte 3

2007-08-09T16:06:00.000-05:00

El Álgebra es la rama de las matemáticas que utiliza letras para representar números cuando no conocemos su valor (incógnitas).
En esta tercera parte de cinco se ofrecen los siguinetes temas para descargar:

Valor Numérico de expresiones algebráicas. Para descargar haz clik aqui.

Ecuaciones y su Clasificación. Para descargar haz clik aqui.

Resolución de ecuaciones de primer grado o lineales. Para descargar haz clik aqui.

Sistemas de ecuaciones simultáneas (2 ecuaciones con 2 incógnitas). Para descargar haz clik aqui..

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Álgebra Parte 2

2007-08-07T13:11:00.001-05:00

El Álgebra es la rama de las matemáticas que utiliza letras para representar números cuando no conocemos su valor (incógnitas).
En esta segunda parte de cinco se ofrecen los siguinetes temas para descargar:

Productos Notables. Para descargar haz clik aquí.

Factorización. Para descargar haz clik aquí.

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Álgebra Parte 1

2007-08-07T12:45:00.001-05:00

El Álgebra es la rama de las matemáticas que utiliza letras para representar números cuando no conocemos su valor (incógnitas).

En esta primera parte de cinco se ofrecen los siguinetes temas para descargar:

Definiciones de algunas entidades algebraicas. Para descargar haz clik aquí.

Operaciones con Polinomios:

Suma y resta de Polinomios. Para descargar haz clik aquí.

Multiplicación de Polinomios. Para descargar haz clik aquí.

División de Polinomios. Para descargar haz clik aquí.

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Aritmética Parte 5

2007-08-03T04:31:00.001-05:00

En esta quinta parte de cinco, se ofrecen los siguientes temas:

Variación Directamente Proporcional. Para descargar haz clik aquí.

Porcentajes. Para descargar haz clik aquí.

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Aritmética Parte 4

2007-08-02T11:39:00.001-05:00

En esta cuarta parte de cinco, se ofrecen los siguientes temas:

Razón Geométrica y Proporcionalidad. Para descargar haz clik aquí.

Igualdades y Despejes. Para descargar haz clik aquí.

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Aritmética Parte 3

2007-08-01T00:44:00.000-05:00

En esta tercera parte de cinco, se ofrecen los siguientes temas:

Operaciones con números decimales. Para descargar haz clik aquí.

Notación científica. Para descargar haz clik aquí.

Propiedades de las Potencias y Raíces. Para descargar haz clik aquí.

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Se corre la voz

2007-08-01T00:29:00.000-05:00

A partir de hoy este blog ya está indexado en diferentes directorios mexicanos e internacionales de páginas web

Technorati Profile

Aritmética Parte 2

2007-07-31T00:07:00.001-05:00

La Aritmética es la rama de las Matemáticas que estudia a los números y sus operaciones. Estudia todas las relaciones posibles entre los números reales y todas las posibles operaciones que se pueden hacer con éstos números.
En esta segunda parte de cinco, se ofrecen los siguientes temas:

Operaciones con signos. Para descargar haz clik aquí.

Fracciones. Para descargar haz clik aquí.

Operaciones con Fracciones. Para descargar haz clik aquí.

Comparación de Cantidades. Para descargar haz clik aquí.

Jerarquías de las Operaciones. Para descargar haz clik aquí.

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Aritmética Parte 1

2007-07-30T01:24:00.000-05:00

Lectura y escritura de los números. Para descargar haz clik aquí.

Operaciones básicas de los números. Para descargar haz clik aquí.

Descomposición en factores primos. Para descargar haz clik aquí.

Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor. Para descargar haz clik aquí.

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Jerarquía de las Operaciones

2007-07-17T13:49:00.007-05:00

El primer tema que esta disponible para descargar lo he llamado Jerarquía de las Operaciones. Este tema me parece muy importante como comienzo de este blog de ayuda, pues es el tema donde se originan las dudas de los alumnos de secundaria y preparatoria en relación a las matemáticas o inclusive en relación a algunos temas de Física. Con las Jerarquías de las Operaciones me refiero al orden en el cual se realizan las operaciones aritméticas o algebráicas; el seguir correctamente el orden de las operaciones entre números y encontrar el resultado correcto.

Descarga aqui el archivo Jerarquía de las Operaciones

Para ver correctamente este archivo necesitas el visor gratuito de Power Point o una licencia de MicroSoft Office.

Origen de este Blog

2007-06-28T23:33:00.000-05:00

En mi experiencia como docente, me he podido dar cuenta que no es necesariamente cierto que muchos alumnos "son malos para las matemáticas" o que "las matemáticas son demasiado difíciles para la mayoría". Simplemente los modelos de aprendizaje y los materiales didácticos que actualmente se utilizan en la mayor parte de las instituciones educativas no están a la altura de las necesidades y expectativas de los "alumnos de hoy".

Cotidianamente somos bombardeados con anuncios espectaculares y deslumbrados con publicidad llamativa. Este tipo de "información", que se transmite en segundos, es la que se ha adaptado al ritmo de vida de la gente que vive en las grandes ciudades y principalmente se ha adaptado a los jóvenes; estos jóvenes ven de manera natural y asimilan perfectamente la transmisión de ideas y conceptos "instantáneamente" mediante gráficas y animaciones de todo tipo; y por el contrarios ven aburridos y anticuados los monólogos y diálogos que eran las técnicas efectivas en el pasado.

En la actualidad, los jóvenes estudiantes están acostumbrados a las nuevas tecnologías de comunicación, de informática y computacionales: ellos nacieron y crecieron junto con ellas. Estos alumnos modernos (los que actualmente están cursando desde primaria hasta preparatoria) son más perceptivos a las tecnologías de comunicación interactivas y mucho menos perceptivos a las técnicas tradicionales de exposiciones en pizarrón, que de muchas maneras se vuelven monótonas y repetitivas.

Otra ventaja de los medios electrónicos de comunicación es su "omnipresencia", pues con sólo estar conectado a la "red" se tiene acceso a la información, no importa donde se haya originado, ni en que lugar del mundo esté almacenada; como consecuencia de ello la educación actual tenderá inevitablemente a ser "efectivamente global" y cada vez demandará mejores técnicas y mejores contenidos de comunicación educativa. Así, la tendencia del mundo moderno revoluciona el concepto de "aprendizaje" y modifica todo el esquema tradicional "enseñanza-aprendizaje" que todavía es muy común.

Si nos damos la oportunidad de "predecir el futuro" no es difícil visualizar a los jóvenes del mañana "asistiendo a clases" desde sus casas a través de una computadora conectada a internet, desarrollando habilidades y adquiriendo conocimientos de manera acelerada y eficiente. Por tal motivo, intento contribuir con mi granito de arena a esta revolución mundial y he creado este blog. Por supuesto, con el compromiso de actualizarlo semana a semana durante el transcurso del ciclo escolar según el avance en el aula y las necesidades de los visitantes.

La importancia de la memoria en el estudio de las matemáticas

2007-06-22T16:57:00.000-05:00

Con relación a las matemáticas, en nuestra sociedad aún existen los más extraños prejuicios. Unos dicen que solamente personas de gran talento pueden dedicarse a las matemáticas; otros afirman que para ello es preciso tener una "memoria matemática" especial que permita recordar las fórmulas, etc.

Claro que no se puede negar que existen cerebros con grandes inclinaciones hacia una u otra actividad mental, pero tampoco se puede afirmar que hayan cerebros normales, absolutamente incapaces a la percepción y completa asimilación de los conocimientos matemáticos indispensables, por lo menos en la magnitud del programa para la escuela media.

Seamos justos y reconozcamos por fin que la expresión "incapaz para las matemáticas" es, ante todo, un producto amargo de nuestra inhabilidad y, posiblemente a veces, de nuestra ligereza y falta de deseo en situar la enseñanza de las matemáticas, tanto en la familia como en la escuela, a la altura correspondiente.

Es aún menos prudente hablar sobre la necesidad de una memoria exclusiva o especial para el estudio de las matemáticas, que permita retener (¿Aprender de memoria?) unas fórmulas o reglas, para convertir una ciencia consciente y consecuente, en cuanto al pensamiento lógico, en un proceso mecánico e inconsciente. Mientras tanto, cuan lejos puede llegar el asunto con una actitud, así lo atestigua el conocido matemático ruso V. P. Ermakov. He aquí lo que él comunicaba a la sociedad fisicomatemática de Kíev en uno de sus informes:

"Cuando enseñaba a los estudiantes de cálculo integral, ya durante el primer año tuvo lugar un episodio que quedó en mi memoria para siempre.

Después de exponer parte de la teoría, para aclararla, planteo problemas. Propongo a los estudiantes que resuelvan estos problemas en sus cuadernos y a medida que se van resolviendo escribo los resultados en la pizarra. Un día, con el fin de aclarar los procedimientos para la reducción de integrales binomiales, escribí en la pizarra un problema adecuado. Al momento observo que algunos estudiantes sacan de los bolsillos unas libretas y las consultan.

-¿Que es eso?

-Las fórmulas generales.

-¿Para qué?

-A nosotros, el profesor anterior nos aconsejó tener una lista de las fórmulas generales y por ellas resolver los ejercicios particulares. Pues no va usted a exigir que aprendamos de memoria las cuarenta fórmulas generales.

-En matemáticas no es necesario aprender de memoria ninguna fórmula. Pero considero también innecesario utilizar material de consulta para hallar integrales mediante fórmulas generales, introduciendo en ellas los valores de los exponentes y coeficientes. Pues como no nos han caído del cielo las fórmulas generales, ya que para su deducción ustedes utilizaron una serie de razonamientos, utilicen esos mismos razonamientos en la resolución de los ejercicios particulares.

De tal forma, resultó posible hallar cualquier integral sin necesidad de utilizar las fórmulas generales, aunque fue preciso modificar algunos cálculos de tal manera que pudieran ser aplicados directamente a los ejemplos particulares.

Se tuvo también la ventaja de que en cada ejercicio particular los estudiantes repetían los mismos razonamientos necesarios para deducir la fórmula general. A consecuencia de ello fueron adquiriendo cierto hábito y, como resultado, rapidez en la resolución de los ejercicios.

Este episodio me obligó a profundizar más en la naturaleza de las matemáticas.

Siendo joven, yo también dedicaba toda la atención a los resultados finales. Al examinar una demostración procuraba cerciorarme solamente de su rigurosidad. ¡Llegar al resultado final y basta! Después me esmeraba en recordar las conclusiones finales, ya que el proceso de la demostración se me esfumaba rápidamente. Pero con el tiempo, olvidaba también las fórmulas, que con frecuencia resultaban necesarias en la continuación de mis estudios. ¿Qué remedio me quedaba? ¿Formar una biblioteca de manuales? Pero para ello no tenía los medios suficientes y además no disponía de un local adecuado. Forzosamente, me vi obligado a recordar el proceso mediante el cuál se deducía una u otra fórmula. Así pues, en lugar de fórmulas, poco a poco pasé a sus deducciones. Resultó que era más fácil recordar el proceso del cálculo matemático que simplemente las fórmulas como tales. Además, no era necesario memorizar todo el proceso, sino que bastaba con trazar los puntos de las etapas por las cuales debería dirigirse el pensamiento. Desde entonces, hace ya varios años que afirmo a mis oyentes que en las matemáticas se deben recordar no las fórmulas, sino el proceso de deducción.

Después de exponer uno u otro capítulo de la geometría analítica, les dicto a los estudiantes el contenido de los apuntes, en los cuales, sin dar fórmulas, anuncio los puntos principales del cálculo.

Si está claro el proceso del cálculo matemático, la obtención de las fórmulas es ya un hecho simplemente mecánico. En cuanto al mecanismo de las operaciones algebráicas, los estudiantes deben obtener este hábito en la escuela media.

Llegué a la convicción que el principio expuesto por mí debe ser utilizado en la escuela media..."

Continuemos la idea de V. P. Ermakov y digamos que el principio indicado debe ser tomado como base para la enseñanza en el área de las matemáticas, tanto en la familia, como en la escuela. No se empeñen en enseñarles a niños o jóvenes el estudio de distintas "tablas" de sumar, restar, multiplicar; en la memorización mecánica de diferentes "reglas" y fórmulas, sino que ante todo, acostúmbrenlos a pensar con placer y conciencia. Lo demás se añadirá con el tiempo. No molesten a nadie con cálculos y ejercicios mecánicos muy largos y aburridos.

Cuando a alguien le sean necesarios en la vida, él los hará por sí solo. Además ahora para ello hay distintas máquinas calculadoras, tablas, dispositivos electrónicos (principalmente) y otros medios.

Sacado del prólogo de "En el reino del ingenio" de E. I. Ignátiev, 1911