Productos Notables (Álgebra)

La frase Producto Notable, en Matemáticas, se refiere al resultado de una multiplicación (producto) que se hace con mucha frecuencia (notable).

En Álgebra tenemos varios productos notables, como por ejemplo la multiplicación un binomio cualquiera por sí mismo, o lo que es lo mismo, el elevar al cuadrado un binomio cualquiera; lo que da como producto el Trinomio Cuadrado Perfecto. Algunos productos notables son la multiplicación de dos binomios conjugados, que da como producto una diferencia de cuadrados; la multiplicación de dos binomios que tienen un término en común, que da como producto un trinomio cuadrado imperfecto; entre otros.

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Binomio al Cuadrado y Trinomio Cuadrado Perfecto.
Binomios conjugados y Diferencia de Cuadrados.
Binomios con un término en común y Trinomio Cuadrado Imperfecto.
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Lenguaje Algebraico (Álgebra)

El lenguaje algebraico es simplemente traducir lo que normalmente hablamos a expresiones particulares con símbolos y números. Cuando hablamos de una situación en la que necesitamos encontrar una respuesta, por todos lados escuchamos frases como esta: “lo más adecuado es escribirlo en forma de ecuación”.

La idea de esto es manipular cantidades desconocidas con símbolos fáciles de escribir. Un ejemplo muy simple es el siguiente enunciado:

Lo que gasté en dulces en la tienda fue el precio de cada dulce por el número de dulces que compré.

Escrito en Lenguaje Algebraico puede quedar de la siguiente manera:

G = P·N

Aquí G significa “lo que gasté”, P significa el "precio por dulce" y N significa "la cantidad de dulces".

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Lenguaje algebraico. Para descargar haz clic aqui.

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Funciones y Relaciones (Geometría Analítica)

Una ecuación de 2 o más variables representa una regla de correspondencia o Relación entre las variables. Esta regla de correspondencia señala los valores que deben o pueden tomar las variables. El valor de la última variable se tiene que calcular, no podemos determinarlo arbitrariamente, pues está restringido por el valor de las demás variables.



Las relaciones o reglas de correspondencia más comunes son las de 2 variables, debido a que se pueden representar gráficamente en el Plano Cartesiano. En estas relaciones escogemos a nuestro gusto el valor de una variable (variable independiente) y calculamos el valor de la otra (variable dependiente). Por costumbre y comodidad se han escogido que las variables sean x para la variable independiente y y para la variable dependiente. De esta manera se tienen las mismas letras que en el eje x y el eje y del Plano Cartesiano.



Si para cada valor que escogimos (variable independiente) corresponden 2 o más valores de la otra variable (variable dependiente) tenemos una relación. Pero, si para cada valor que escogimos (variable independiente) corresponde SÓLO UN VALOR de la otra variable (variable dependiente) tenemos una FUNCIÓN.



Las funciones, al igual que las ecuaciones, se clasifican por su grado, tipo de los términos y número de variables. Cuando se clasifican por su grado es muy común asignarle nombres relacionados con su gráfica. Así, las de primer grado suelen llamarlas funciones lineales, pues su gráfica es una línea recta; a las de segundo grado suelen llamarlas funciones parabólicas, pues su gráfica es una parábola.



Los siguientes son ejemplos de nombres de diferentes funciones según el tipo de sus términos: Logarítmicas, Exponenciales, Racionales, Hiperbólicas, Elípticas, Asintóticas, Periódicas, etc.

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Funciones: Definición y clasificación. Para descargar haz clic aqui.


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Ecuaciones y su Clasificación (Álgebra)

Las Ecuaciones son igualdades en las que se tiene una o más incógnitas, es decir, tenemos uno o más números que no conocemos su valor dentro de los operaciones descritas en la igualdad.



La definición formal de ecuación es la siguiente: "Una ecuación es una comparación, mediante un signo de igual, de dos expresiones algebraicas". Estas expresiones algebraicas son la representación escrita de operaciones aritméticas entre números (si conocemos su valor numérico) y variables o incógnitas (no conocemos su valor numérico).



Las ecuaciones se clasifican por el grado de sus términos y por la cantidad de incógnitas diferentes que presentan. Esta clasificación obedece a la forma en cómo se resuelven los diferentes tipos de ecuaciones.

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Plano Cartesiano (Geometría Analítica)

El Plano Cartesiano es una herramienta muy útil en muchas actividades diarias. Sirve como referencia en un plano cualquiera; por ejemplo, el plano (o el suelo) de nuestra cuidad.



Se llama Plano Cartesiano porque lo inventó el filósofo y matemático René Descartes (1596-1650).



El Plano Cartesiano se construye dibujando dos rectas numéricas, una horizontal y la otra vertical, que se atraviesan una a la otra en sus respectivos ceros; este cruce en el cero se le llama origen y a cada una de las rectas se les llama ejes cartesianos o ejes coordenados.



En la recta horizontal los números positivos están a la derecha del origen y los negativos a la izquierda del origen. En la recta vertical los números positivos están arriba del origen y lo negativos abajo del origen. Además, también se pueden trazar rectas paralelas a los ejes y formar así una cuadrícula.



La utilidad y versatilidad del Plano Cartesiano consiste en que se puede ubicar un punto sin confusiones con sólo dos números. Estos dos números se llaman coordenadas o par ordenado y el orden es (x,y).

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El plano cartesiano. Para descargar haz clic aquí.


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Sistema de dos Ecuaciones Lineales Simultáneas con dos Incógnitas (Álgebra)

Un sistema de 2 ecuaciones simultáneas con 2 incógnitas es un par de ecuaciones que tienen exactamente las mismas 2 incógnitas. Este tipo de sistemas de ecuaciones simultáneas es muy común que aparezca en problemas donde se plantean 2 sucesos distintos con las mismas cosas. De cada suceso se obtiene una ecuación y las dos ecuaciones involucran las mismas cosas (mismas variables o incógnitas).



Un ejemplo clásico es el siguiente: Un niño es 25 años menor que su padre, dentro de 18 años el niño tendrá la mitad de la edad del padre ¿Cuántos años tiene el niño y el padre? La solución, como puede verificarse, es que el niño tiene 7 años y el padre 32.



Este tipo de problemas se suelen plantear como retos en reuniones y muy comúnmente son los niños los que plantean este tipo de preguntas... ¡mas vale responderlas correctamente si no se quiere quedar como tonto!



Los métodos de solución de este tipo de sistemas son varios y muy diferentes entre sí. El más ampliamente utilizado es el de “suma y resta”, pero hay métodos más sencillos que son de bastante utilidad cuando se pueden plantear correctamente.

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Método de Suma y Resta para resolver 2 ecuaciones simultáneas con 2 incógnitas. Para descargar haz clic aquí.


Método de Sustitución para resolver 2 ecuaciones simultáneas con 2 incógnitas. Para descargar haz clic aquí.


Método de Igualación para resolver 2 ecuaciones simultáneas con 2 incógnitass. Para descargar haz clic aquí.


Método de los determinantes para resolver 2 ecuaciones simultáneas con 2 incógnitas. Para descargar haz clic aquí.


Método gráfico para resolver 2 ecuaciones simultáneas con 2 incógnitas. Para descargar haz clic aquí.



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Ecuaciones de Segundo Grado: una Incógnita (Álgebra)

Las Ecuaciones de segundo grado de una incógnita son igualdades (de una sola incógnita, por supuesto) en la cual, en alguno de sus términos, la incógnita tiene potencia igual a dos.



Las ecuaciones de segundo grado suele llamárseles también ecuaciones cuadráticas o parabólicas. Cuadráticas por estar elevada al cuadrado la variable; Parabólica porque su gráfica es una parábola.



Resolver una ecuación cuadrática de una incógnita es encontrar los dos valores de esa incógnita que satisfacen la ecuación, es decir, los valor que al sustituirlos (uno a la vez) por la variable se confirma que los dos miembros de la ecuación son verdaderamente iguales.



Existen varios procedimientos para encontrar este valor. Uno de ellos es el método de la factorización, otro es el de la fórmula general, también por aproximaciones sucesivas por métodos numéricos; uno inexacto es el método gráfico.

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Ecuaciones de segundo grado y solución por factorización. Para dscargar haz clic aquí.


Ecuaciones de segundo grado y solución por fórmula gneral. Para dscargar haz clic aquí.



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Ecuaciones de Primer Grado: una Incógnita (Álgebra)

Las Ecuaciones de primer grado de una incógnita son igualdades en las que se tiene sólo una incógnita. Esta incógnita está representada por una letra o algún otro símbolo.



Las ecuaciones de primer grado suele llamárseles también ecuaciones lineales, pues su gráfica es una línea recta. En este caso particular, de ecuaciones de una incógnita, las gráficas de estas ecuaciones son líneas perfectamente horizontales o verticales.



Resolver una ecuación linear de una incógnita es encontrar el valor (o los valores) que satisface la ecuación, es decir, el valor que al sustituirlo por la variable se confirma que los dos miembros de la ecuación son verdaderamente iguales. El procedimiento para encontrar este valor se llama Despeje.

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Ecuaciones de primer grado con una incógnita y su solución. Para descargar haz clic aquí.


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Operaciones con Polinomios (Álgebra)

Los operaciones que se pueden hacer con polinomios son esencialmente las mismas que se pueden hacer con los números Reales. Es decir, la suma, la resta, la multiplicación, etc.



Las operaciones con polinomios tienen algunas reglas particulares para llevarse a cabo, por eso conviene estudiarlas detenidamente cada operación por separado.

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Suma y Resta de Polinomios. Para descargar haz clic aquí.


Multiplicación de Polinomios. Para descargar haz clic aquí.


División de Polinomios. Para descargar haz clic aquí.


Potencia de Polinomios. Para descargar haz clic aquí.




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Polinomios (Álgebra)

Un Polinomio es una expresión algebráica con varios términos. Polinomio significa precisamente varios términos (poli = muchos o varios; nomio = término).



Los términos de un polinomio se distinguen unos de otros porque están separados por signos de suma o resta (+ o -) y dentro de ellos los números y las variables se multiplican y dividen. Estos términos pueden ser semejantes o no. Son semejantes cuando sus incógnitas coinciden tanto en letra como en exponente. Son no-semejantes cuando sus incógnitas difieren.



Los polinomios se clasifican y nombran de acuerdo al número de términos que lo forman y de acuerdo con el grado de sus términos.

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Polinomios. Para descargar haz clic aquí.



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Despejes (Álgebra)

Un despeje es un procedimiento con el que se encuentra el valor de una incógnita presente en una ecuación. Este despeje es una herramienta muy poderosa (cuando se aplica correctamente) para encontrar valores de variables contenidas en alguna ecuación.



Estas ecuaciones deben tener sólo una incógnita para determinar con certeza su valor. Puede ser que se tengan varias variables, pero sólo una será la incógnita: todas las demás variables deben tener un valor asignado.



De lo contrario, si estas ecuaciones tienen dos o más incógnitas, no se puede encontrar un valor específico de ellas; en este caso sólo encontraremos funciones o relaciones entre las variables.

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Despejes. Para descargar haz clic aquí.



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Conceptos Básicos y Definiciones del Álgebra

El Álgebra es una rama de las matemáticas que estudia los números y sus propiedades en forma general. No necesita el valor de un número para poder saber sus propiedades y operarlo, para ello lo sustituye por un símbolo que generalmente es una letra.



Al empezar con el estudio del Álgebra aparecen nuevas expresiones, a las que llamamos expresiones algebraicas, y conviene nombrarlas para identificarlas correctamente durante cualquier intercambio de información.



De este modo, al conjunto de números y letras que representan operaciones entre cantidades se llama expresión algebraica. Esta expresión se puede separar en términos; Los términos se distinguen uno de otro porque están separados por un signo de mas (+) o un signo de menos (-), esto significa que entre letras y números sólo puede haber multiplicaciones y divisiones para agruparlos.



Dentro de cada término distinguimos números que llamamos Coeficientes y Letras que llamamos Incógnitas o variables. Estas incógnitas o variables pueden tener o no un exponente, que es un número que se escribe más pequeño y en la parte superior derecha de la incógnita. Este exponente representa la potencia de esa incógnita y a partir de éstos exponentes se obtiene el grado de un término.



Dos términos son semejantes si la parte incógnita de ambos es idéntica.



Para ver una explicación animada de estos conceptos y algunos otros descarga el siguiente archivo:

Definiciones Básicas de Álgebra. Para descargar haz clic aquí.


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Igualdades y Despejes (Aritmética)

Una Igualdad es una circunstancia en donde se tienen 2 o más cantidades todas iguales entre sí. En matemáticas, esta igualdad se representa por expresión en donde se comparan dos cantidades (o más) y se afrma que son iguales. Esta afirmación es mediante el signo "=".



De esta manera, una igualdad está siempre escrita por números u operaciones entre números separadas por un signo de igual de otros números u operaciones entre números.



Un despeje es un procedimiento con el que se encuentra un número desconocido en una igualdad. Este procedimiento obedece a las propiedades de las operaciones entre números y a la única condición de que las des expresiones separadas por un signo de igual sean verdaderamente iguales.

Para ver una explicación animada y ejercicios de estos temas, descarga el siguiente archivo:



Igualdades y Despejes. Para descargar haz clic aquí.


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Álgebra Parte 5

El Álgebra es la rama de las matemáticas que utiliza letras para representar números cuando no conocemos su valor (incógnitas).
En esta quinta parte de cinco se ofrecen los siguinetes temas para descargar:



El Plano Cartesiano y sus Regiones. Para descargar haz clik aquí.


Gráfica de una Función. Para descargar haz clik aquí.



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Álgebra Parte 4

El Álgebra es la rama de las matemáticas que utiliza letras para representar números cuando no conocemos su valor (incógnitas).
En esta cuarta parte de cinco se ofrecen los siguinetes temas para descargar:



Sistemas de ecuaciones simultáneas (3 ecuaciones con 3 incógnitas). Para descargar haz clik aqui.


Resolución de ecuaciones de segundo grado o cuadráticas. Para descargar haz clik aqui.


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Álgebra Parte 3

El Álgebra es la rama de las matemáticas que utiliza letras para representar números cuando no conocemos su valor (incógnitas).
En esta tercera parte de cinco se ofrecen los siguinetes temas para descargar:



Valor Numérico de expresiones algebráicas. Para descargar haz clik aqui.


Ecuaciones y su Clasificación. Para descargar haz clik aqui.


Resolución de ecuaciones de primer grado o lineales. Para descargar haz clik aqui.


Sistemas de ecuaciones simultáneas (2 ecuaciones con 2 incógnitas). Para descargar haz clik aqui..



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Álgebra Parte 2

El Álgebra es la rama de las matemáticas que utiliza letras para representar números cuando no conocemos su valor (incógnitas).
En esta segunda parte de cinco se ofrecen los siguinetes temas para descargar:



Productos Notables. Para descargar haz clik aquí.

Factorización. Para descargar haz clik aquí.



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Álgebra Parte 1

El Álgebra es la rama de las matemáticas que utiliza letras para representar números cuando no conocemos su valor (incógnitas).

En esta primera parte de cinco se ofrecen los siguinetes temas para descargar:



Definiciones de algunas entidades algebraicas. Para descargar haz clik aquí.


Operaciones con Polinomios:


Suma y resta de Polinomios. Para descargar haz clik aquí.


Multiplicación de Polinomios. Para descargar haz clik aquí.


División de Polinomios. Para descargar haz clik aquí.



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Jerarquía de las Operaciones

El primer tema que esta disponible para ver en línea lo he llamado Jerarquía de las Operaciones.

Este tema me parece muy importante como comienzo de este blog de ayuda, pues es el tema donde se originan las dudas de los alumnos de secundaria y preparatoria en relación a las matemáticas o inclusive en relación a algunos temas de Física. Con las Jerarquías de las Operaciones me refiero al orden en el cual se realizan las operaciones aritméticas o algebráicas; el seguir correctamente el orden de las operaciones entre números y encontrar el resultado correcto.

La siguiente es una presentación con diapositivas con una explicación sencilla y animada sobre las Jerarquías de las Operaciones. Espero sea de ayuda para ti.

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Gracias.